Cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x - 16 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x - 16$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 6 + 0$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 6$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 6$ .

$2 x - 6$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 6 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Etapa 2.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 x = 6$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $6$ por $2$ .

$x = 3$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 2 (0) - 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 3)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 2 (6) - 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (6) = 12 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $6$ de $12$ .

$f'' (6) = 6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8