Cálculo Exemplos

$y = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 4 x^{3} + 18 x$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $- 4 x^{3} + 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 18 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} + 18 x$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} + 18 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $- 2 x$ de $- 4 x^{3} + 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 x (2 x^{2}) + 18 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- 2 x$ de $18 x$ .

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 9 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $2 x^{2} - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $2 x^{2} - 9$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 9 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 x^{2} - 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 9$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 9$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 5.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Etapa 5.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{9}{2}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.3

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(0)}^{2} + 18$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 18$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$0 + 18$

Etapa 9.2

Some $0$ e $18$ .

$18$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{2} - 20$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 9 \cdot 0 - 20$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $9$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 20$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 20$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $20$ de $0$ .

$f (0) = - 20$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 20$ .

$y = - 20$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.2.2.5

Avalie o expoente.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Etapa 13.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Etapa 13.1.4

Multiplique $9$ por $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Etapa 13.1.5.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Etapa 13.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Etapa 13.1.6

Multiplique $- 3$ por $18$ .

$- 54 + 18$

Etapa 13.2

Some $- 54$ e $18$ .

$- 36$

Etapa 14

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $81$ por $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $324$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Fatore $4$ de $324$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 15.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.7.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Etapa 15.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Etapa 15.2.1.9

Multiplique $9$ por $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Etapa 15.2.1.10

Cancele o fator comum de $18$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Fatore $2$ de $18$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Etapa 15.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Etapa 15.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Etapa 15.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Etapa 15.2.1.11

Multiplique $9 (\frac{9}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.11.1

Combine $9$ e $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Etapa 15.2.1.11.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Etapa 15.2.2.3

Escreva $- 20$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Multiplique $81$ por $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 20$ por $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Etapa 15.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Some $- 81$ e $162$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $80$ de $81$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 18$

Etapa 17.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Etapa 17.1.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Etapa 17.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 12 (1 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Etapa 17.1.3

Multiplique $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.4.2.5

Avalie o expoente.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Etapa 17.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Etapa 17.1.6

Multiplique $9$ por $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Etapa 17.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.7.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Etapa 17.1.7.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Etapa 17.1.7.3

Reescreva a expressão.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Etapa 17.1.8

Multiplique $- 3$ por $18$ .

$- 54 + 18$

Etapa 17.2

Some $- 54$ e $18$ .

$- 36$

Etapa 18

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{4}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.2.3

Some $4$ e $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{5} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $81$ por $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.7

Cancele o fator comum de $324$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.7.1

Fatore $4$ de $324$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.7.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Etapa 19.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 20$

Etapa 19.2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Etapa 19.2.1.8.3

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Etapa 19.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Etapa 19.2.1.10

Multiplique $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.11.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.11.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.2.1.11.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.11.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Etapa 19.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Etapa 19.2.1.13

Multiplique $9$ por $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Etapa 19.2.1.14

Cancele o fator comum de $18$ e $4$ .

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Etapa 19.2.1.14.1

Fatore $2$ de $18$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Etapa 19.2.1.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 19.2.1.14.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Etapa 19.2.1.14.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Etapa 19.2.1.14.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Etapa 19.2.1.15

Multiplique $9 (\frac{9}{2})$ .

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Etapa 19.2.1.15.1

Combine $9$ e $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Etapa 19.2.1.15.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Etapa 19.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 19.2.2.1

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Etapa 19.2.2.2

Multiplique $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Etapa 19.2.2.3

Escreva $- 20$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Etapa 19.2.2.4

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 19.2.2.5

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.4.1

Multiplique $81$ por $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Etapa 19.2.4.2

Multiplique $- 20$ por $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Etapa 19.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 19.2.5.1

Some $- 81$ e $162$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Etapa 19.2.5.2

Subtraia $80$ de $81$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Etapa 19.2.6

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$ .

$(0, - 20)$ é um mínimo local

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ é um máximo local

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ é um máximo local

Etapa 21