Cálculo Exemplos

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $30$ de ${(x - b)}^{30}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $4 b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $b$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Combine os termos opostos em ${(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b$ .

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Etapa 1.1.2.8.1.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$\frac{0^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Some $- 4 b$ e $4 b$ .

$\frac{0^{30} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Some $0^{30}$ e $0$ .

$\frac{0^{30}}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.8.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $b$ de $b$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{30}$ e $g (x) = x - b$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{30}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 30$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 u^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $30$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.5

Como $4 b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.6

Some $30 {(x - b)}^{29} - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Etapa 1.3.9

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1}$

Etapa 1.4

Divida $30 {(x - b)}^{29} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - 4$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Etapa 2.2

Mova o termo $30$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$30 lim_{x \to b} {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Etapa 2.3

Mova o expoente $29$ de ${(x - b)}^{29}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$30 {(b - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$30 \cdot 0^{29} - 1 \cdot 4$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.2.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 - 4$

Etapa 4.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$