Cálculo Exemplos

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

Etapa 1

Divida $x - 2$ por $3 x + 6$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$6$

$x$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 2$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

Etapa 6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

Etapa 7

Deixe $u = 3 x + 6$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 3 x + 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $3 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 7.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 7.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 8.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 4$ .

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 6$ .

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$