Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 4}{2 x + 6} d x$

Etapa 1

Divida $x + 4$ por $2 x + 6$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$6$

$x$

$4$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			+	$x$	+	$3$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 3$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			-	$x$	-	$3$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			-	$x$	-	$3$
					+	$1$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 6} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 6} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 6} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x + 6$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x + 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 6]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 6$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 6 |) + C$