Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Etapa 1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Etapa 4.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{u_{2}}{2}$ e $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 8

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Depois, $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Etapa 8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- {u_{2}}^{2}$ em relação a $u_{2}$ é $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $u_{2}$ em $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 8.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $u_{2}$ em $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 8.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u_{3}$ , $d u_{3}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Etapa 9.2

Combine $e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 12.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 13

A integral de $e^{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie $e^{u_{3}}$ em $- 1$ e em $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 14.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Etapa 14.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Etapa 15.4

Multiplique $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

Etapa 15.4.2

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Etapa 15.5

Mova $8$ para a esquerda de $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.07901506 \dots$

Etapa 17