Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a integração por partes. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Deixe $r = 4 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $16$ de $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $16$ de $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $16$ de $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Reorganize os termos.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Reescreva $16 \sec^{2} (t)$ como ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $4 \sec (t)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $4 \sec (t)$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $4$ de $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 4

Como $64$ é constante com relação a $t$ , mova $64$ para fora da integral.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 5

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Simplifique.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 9

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 9.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Etapa 9.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Etapa 9.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Etapa 9.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $- u + \frac{u^{3}}{3}$ em $\sec (0.24497866)$ e em $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Para escrever $- \sec (0.24497866)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.2

Combine $- \sec (0.24497866)$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Etapa 14.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 14.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 14.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Etapa 14.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Etapa 14.2.10.2

Some $- 3$ e $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Etapa 14.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Etapa 14.2.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Etapa 14.2.13

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Fatore $- 1$ de $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.2

Fatore $- 1$ de $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.3

Fatore $- 1$ de $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.4

Reescreva $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ como $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Forma decimal:

$0.06124186 \dots$

Etapa 17