Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

Etapa 1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

Etapa 1.3.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

Etapa 1.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.4.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.7

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.9

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 3.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Etapa 3.11.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Etapa 3.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 3.13

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 3.14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

Etapa 3.18

Combine $\frac{1}{4 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

Etapa 3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Etapa 6

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Etapa 10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Etapa 11

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

Etapa 13

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

Etapa 15.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

Etapa 15.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

Etapa 15.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \cdot (4 - 3)$

Etapa 15.5

Subtraia $3$ de $4$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 15.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$