Cálculo Exemplos

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$16 - 36 + 12 (2)$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $12$ por $2$ .

$16 - 36 + 24$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $36$ de $16$ .

$- 20 + 24$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 20$ e $24$ .

$4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Etapa 4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$2 - 9 + 12 (1)$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $12$ por $1$ .

$2 - 9 + 12$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $9$ de $2$ .

$- 7 + 12$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 7$ e $12$ .

$5$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, 4), (1, 5)$

Etapa 5