Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (x + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.5.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5.2

Some $0$ e $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + e^{x}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + e^{x}) \frac{1}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $1 + e^{x}$ por $\frac{1}{x + e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Etapa 4.4

Mova o limite para o expoente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x}}}$

Etapa 4.6

Mova o limite para o expoente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{0}}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{0 + e^{0}}}$

Etapa 6.1.2

Some $1$ e $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + e^{0}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + 1}}$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $1$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Etapa 6.3

Divida $2$ por $1$ .

$e^{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{2}$

Forma decimal:

$7.38905609 \dots$