Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ e $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $20 x^{3} - 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ e cuja soma é $b = - 12$ .

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Etapa 5.3.1.1

Fatore $- 12$ de $- 12 u$ .

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $- 12$ como $- 2$ mais $- 10$

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

Etapa 5.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

Etapa 5.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

Etapa 5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 5.5

Defina $5 u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $5 u - 2$ como igual a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 u - 2 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$5 u = 2$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $5 u = 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = 2$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Etapa 5.6

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{2}{5}, 2$

Etapa 5.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

Etapa 5.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Etapa 5.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Etapa 5.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Etapa 5.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.10.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.10.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.10.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.10.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.10.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.10.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Etapa 5.10.2.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 2$

Etapa 5.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 2$

Etapa 5.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.13

A solução para $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ é $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{3}$ como $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $1000$ como $10^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $100$ de $1000$ .

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.4.2

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.4.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.4.4

Reescreva a expressão.

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.5

Combine $4$ e $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $10$ por $4$ .

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.7

Cancele o fator comum de $40$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Fatore $5$ de $40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.8

Combine $- 24$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $24 \sqrt{10}$ de $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{10}}{5}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{5}$ como $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.2.2

Eleve $10$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.2.3

Reescreva $100000$ como $100^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.3.1

Fatore $10000$ de $100000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.2.3.2

Reescreva $10000$ como $100^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $100$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $25$ de $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.2.1

Fatore $25$ de $3125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{3}$ como $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.6.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.6.3

Reescreva $1000$ como $10^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.3.1

Fatore $100$ de $1000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.6.3.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.6.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.7

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.8

Cancele o fator comum de $10$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.9

Multiplique $- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.9.1

Combine $- 4$ e $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.9.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 11.2.1.11

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $25$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1.1

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.5.1.2

Subtraia $40 \sqrt{10}$ de $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 11.2.6

Para escrever $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Etapa 11.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Etapa 11.2.7.2

Multiplique $5$ por $25$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Etapa 11.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Etapa 11.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Multiplique $25$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 11.2.9.2

Some $- 36 \sqrt{10}$ e $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 11.2.10

A resposta final é $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{3}$ como $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.3.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.3.3

Reescreva $1000$ como $10^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Fatore $100$ de $1000$ .

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.3.3.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ para o numerador.

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.5.3

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.5.4

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.5.5

Reescreva a expressão.

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.6

Combine $4$ e $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.7

Multiplique $- 10$ por $4$ .

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $- 40$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $5$ de $- 40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Etapa 13.1.10

Multiplique $- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 13.1.10.2

Combine $24$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 13.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 13.2.2

Some $- 8 \sqrt{10}$ e $24 \sqrt{10}$ .

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{5}$ como $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.3.2

Eleve $10$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.3.3

Reescreva $100000$ como $100^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.3.1

Fatore $10000$ de $100000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.3.3.2

Reescreva $10000$ como $100^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $100$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Fatore $25$ de $100 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.2.1

Fatore $25$ de $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{3}$ como $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.8.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.8.3

Reescreva $1000$ como $10^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.3.1

Fatore $100$ de $1000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.8.3.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.8.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.9

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.10

Cancele o fator comum de $10$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.11

Multiplique $- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.11.2

Combine $4$ e $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.11.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Etapa 15.2.1.12

Multiplique $4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.1.12.2

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.2

Para escrever $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $25$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.5.2

Some $- 4 \sqrt{10}$ e $40 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Etapa 15.2.6

Para escrever $- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Etapa 15.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Multiplique $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Etapa 15.2.7.2

Multiplique $5$ por $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Etapa 15.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Etapa 15.2.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1.1

Multiplique $25$ por $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 15.2.9.1.2

Subtraia $100 \sqrt{10}$ de $36 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 15.2.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 15.2.10

A resposta final é $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.1.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.1.5

Multiplique $2$ por $20$ .

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Etapa 17.2

Subtraia $24 \sqrt{2}$ de $40 \sqrt{2}$ .

$16 \sqrt{2}$

Etapa 18

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.3

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.3.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.7

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Etapa 19.2.1.9

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $8 \sqrt{2}$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 4 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

Etapa 19.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.5

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.8

Multiplique $- 2$ por $20$ .

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Etapa 21.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Etapa 21.2

Some $- 40 \sqrt{2}$ e $24 \sqrt{2}$ .

$- 16 \sqrt{2}$

Etapa 22

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.8

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.12

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.12.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.12.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.15

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Etapa 23.2.1.16

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Etapa 23.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.2.1

Some $- 4 \sqrt{2}$ e $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Etapa 23.2.2.2

Subtraia $4 \sqrt{2}$ de $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

Etapa 23.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

Etapa 23.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ é um máximo local

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ é um mínimo local

$(\sqrt{2}, - 1)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{2}, - 1)$ é um máximo local

Etapa 25