Cálculo Exemplos

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(e^{x} + 1)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(e^{x} + 1)}^{2}$ como $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.3.1.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Etapa 4.3.2

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 7

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 10

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Etapa 11

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$