Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Etapa 1

Como $π$ é constante com relação a $x$ , mova $π$ para fora da integral.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Etapa 6

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $0$ e em $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Etapa 8.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Etapa 8.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Etapa 8.2.4

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Etapa 8.2.5

Combine $- 64$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Etapa 8.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Etapa 8.2.7

Subtraia $\frac{64}{3}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Etapa 8.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Etapa 8.2.9

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Etapa 8.2.10

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Etapa 8.2.12

Mova $64$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Etapa 8.2.13

Cancele o fator comum de $64$ e $6$ .

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Etapa 8.2.13.1

Fatore $2$ de $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Etapa 8.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.13.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Etapa 8.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{32 π}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{32 π}{3}$

Forma decimal:

$33.51032163 \dots$

Etapa 10