Cálculo Exemplos

$\cos (5 x + y) = y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + y$ .

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $- \sin (5 x + y) (5 + y')$ .

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva.

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1.4.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

Etapa 5.1.1.4.2

Reordene os fatores em $- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

Etapa 5.3

Some $5 \sin (5 x + y)$ aos dois lados da equação.

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- y' \sin (5 x + y) - y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- y' \sin (5 x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Etapa 5.5

Reescreva $- 1 \sin (5 x + y)$ como $- \sin (5 x + y)$ .

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ por $- \sin (5 x + y) - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ por $- \sin (5 x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (5 x + y) - 1$ .

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Etapa 5.6.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (5 x + y)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

Etapa 5.6.3.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

Etapa 5.6.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

Etapa 5.6.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$