Cálculo Exemplos

Let $g (x) = x^{4} - x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$g'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$g'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

Etapa 4.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $- x^{3}$ de $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $- x^{3}$ de $- 5 x^{4}$ .

$- x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$- x^{3} (5 x) - x^{3} \cdot - 4 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $- x^{3}$ de $- x^{3} (5 x) - x^{3} (- 4)$ .

$- x^{3} (5 x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $5 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $5 x - 4$ como igual a $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$5 x = 4$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $5 x = 4$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x^{3} (5 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 20$ por $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$g' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$g' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$g' (- 2) = - 80 + 4 \cdot - 8$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$g' (- 2) = - 80 - 32$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $32$ de $- 80$ .

$g' (- 2) = - 112$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 112$ .

$- 112$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0.4$ , do intervalo $(0, \frac{4}{5})$ na primeira derivada $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.4$ na expressão.

$g' (0.4) = - 5 {(0.4)}^{4} + 4 {(0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $0.4$ à potência de $4$ .

$g' (0.4) = - 5 \cdot 0.0256 + 4 {(0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $0.0256$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 {(0.4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $0.4$ à potência de $3$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 \cdot 0.064$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $4$ por $0.064$ .

$g' (0.4) = - 0.128 + 0.256$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 0.128$ e $0.256$ .

$g' (0.4) = 0.128$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $0.128$ .

$0.128$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{4}{5}, \infty)$ na primeira derivada $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$g' (3) = - 5 {(3)}^{4} + 4 {(3)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$g' (3) = - 5 \cdot 81 + 4 {(3)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $81$ .

$g' (3) = - 405 + 4 {(3)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$g' (3) = - 405 + 4 \cdot 27$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $4$ por $27$ .

$g' (3) = - 405 + 108$

Etapa 10.4.2.2

Some $- 405$ e $108$ .

$g' (3) = - 297$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 297$ .

$- 297$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{4}{5}$ , então $x = \frac{4}{5}$ é um máximo local.

$x = \frac{4}{5}$ é um máximo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $g (x) = x^{4} - x^{5}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = \frac{4}{5}$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = \frac{4}{5}$ é um máximo local

Etapa 11