Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} x \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.4

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 6.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Para escrever $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.2

Combine $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (e) e^{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.8.6.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.8.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 6.8.6.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Forma decimal:

$2.09726402 \dots$