Cálculo Exemplos

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{6}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$6 x^{5} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $6 x^{5} x'$ dos dois lados da equação.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $6 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

Etapa 5.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Etapa 5.3

Fatore $2 x x'$ de $8 x x' - 6 x^{5} x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 x x'$ de $8 x x'$ .

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 x x'$ de $- 6 x^{5} x'$ .

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 x x'$ de $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ .

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ por $2 x (4 - 3 x^{4})$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ por $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $4 - 3 x^{4}$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 6 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$