Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $x^{2} + 2 x - 3$ e $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $x^{2} + 2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} + 2 x - 3$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (1) + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Etapa 9.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Etapa 11.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 \cdot 1 - 8$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 8$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 11.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 3 - 8$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3 - 8$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 3 - 8$

Etapa 11.2.2.4

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} - 8$

Etapa 11.2.2.5

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - 8$

Etapa 11.2.2.7

Escreva $- 8$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Etapa 11.2.2.8

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.2.9

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 3 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 8 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 24}{3}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.5.1

Some $1$ e $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 9 - 24}{3}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $9$ de $4$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 24}{3}$

Etapa 11.2.5.3

Subtraia $24$ de $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 29}{3}$

Etapa 11.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{29}{3}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $- \frac{29}{3}$ .

$y = - \frac{29}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (- 3) + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 + 2$

Etapa 13.2

Some $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Etapa 14

$x = - 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.1.2.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 3 \cdot - 3 - 8$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 9 - 8$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 15.2.2.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f (- 3) = 0 + 9 - 8$

Etapa 15.2.2.2

Some $0$ e $9$ .

$f (- 3) = 9 - 8$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $8$ de $9$ .

$f (- 3) = 1$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ .

$(1, - \frac{29}{3})$ é um mínimo local

$(- 3, 1)$ é um máximo local

Etapa 17