Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (x - 4)$ por $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Etapa 1.1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Etapa 1.1.7

Mova $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 4 A$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 4 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = 1$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2

Some $\frac{1}{4}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 7

Deixe $u = x - 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 7.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

Etapa 7.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Etapa 7.5

Subtraia $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $3$ e em $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 10.2

Combine $\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 10.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Etapa 10.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Etapa 11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

Etapa 11.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Forma decimal:

$- 0.27465307 \dots$

Etapa 13