Cálculo Exemplos

$y^{4} = 3 x y - 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (3 x y - 5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x y' + y) + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x y') + 3 y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $3 x y' + 3 y$ e $0$ .

$3 x y' + 3 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} y' = 3 x y' + 3 y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 x y'$ dos dois lados da equação.

$4 y^{3} y' - 3 x y' = 3 y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $4 y^{3} y' - 3 x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$y' (4 y^{3}) - 3 x y' = 3 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 3 x y'$ .

$y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x) = 3 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (4 y^{3}) + y' (- 3 x)$ .

$y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ por $4 y^{3} - 3 x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (4 y^{3} - 3 x) = 3 y$ por $4 y^{3} - 3 x$ .

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4 y^{3} - 3 x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 y^{3} - 3 x)}{4 y^{3} - 3 x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{4 y^{3} - 3 x}$