Cálculo Exemplos

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{3} y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} y$ .

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Etapa 2.5

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ dos dois lados da equação.

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ por $x^{3} \cos (x^{3} y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ por $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x^{3} y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Separe as frações.

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ em $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Combine $\frac{3}{x}$ e $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.6

Cancele o fator comum de $\cos (x^{3} y)$ .

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Etapa 5.3.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Etapa 5.3.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

Etapa 5.3.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$