Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.8.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.2.8.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.11

Some $4 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 1.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

Etapa 1.3.15

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Etapa 2.9

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Etapa 4.5

Multiplique $4 \cdot - 1 + 3$ por $1$ .

$4 \cdot - 1 + 3$

Etapa 4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 + 3$

Etapa 4.7

Some $- 4$ e $3$ .

$- 1$