Cálculo Exemplos

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int u \sin (u) d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Etapa 6.2

Multiplique $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Etapa 8

Reescreva $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ como $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ para o numerador.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.3.4

Reescreva a expressão.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 10.5

Reordene os fatores em $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$