Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Etapa 1

Como $\frac{16}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{16}{3}$ para fora da integral.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{\frac{5}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $16$ e $6$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ em $- 1$ e em $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $\frac{3}{8}$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Etapa 8.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Etapa 8.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Etapa 8.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Etapa 8.2.9

Subtraia $3$ de $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Etapa 8.2.10

Cancele o fator comum de $0$ e $8$ .

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Etapa 8.2.10.1

Fatore $8$ de $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Etapa 8.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.10.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Etapa 8.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Etapa 8.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Etapa 8.2.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Etapa 8.2.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Etapa 8.2.12

Multiplique $0$ por $\frac{8}{3}$ .

$0$

Etapa 9