Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

Etapa 3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ em $\sec^{2} (5 x)$ .

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 5

Como $\frac{6}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{6}{5}$ para fora da integral.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = 4 x + 2$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = 4 x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 7.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.1.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $6$ e $20$ .

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Etapa 9.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.2.1

Fatore $2$ de $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.2.2

Mova ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.2.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 9.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{1}$ é $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Depois, $d u_{2} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 11.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 12

Combine $\sec^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

Etapa 13

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 14

Como a derivada de $\tan (u_{2})$ é $\sec^{2} (u_{2})$ , a integral de $\sec^{2} (u_{2})$ é $\tan (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x + 2$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$