Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.3.2

Combine $e^{\frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.1

Mova $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.6.3

Some $- 2$ e $2$ .

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.1

Simplifique $x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.7.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.7.3

Reescreva $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ como $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.11.2

Some $- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Reordene os fatores em $- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2

Fatore $e^{\frac{1}{x}}$ de $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

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Etapa 2.12.2.1

Fatore $e^{\frac{1}{x}}$ de $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.2

Fatore $e^{\frac{1}{x}}$ de $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.3

Fatore $e^{\frac{1}{x}}$ de $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12.8

Multiplique $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$