Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{x (\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \cos (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin (x) - x \ln (x) \cos (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Reordene os termos.

$\frac{- x \cos (x) \ln (x) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- x \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $\sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.6

Reescreva $- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ como $- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x \cos (x) \ln (x) - \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$