Cálculo Exemplos

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{3} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 20}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.3.3

Combine $5$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.3.4

Combine $\frac{5}{4}$ e $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Etapa 1.4

Como $\frac{4}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{15}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ e $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.3

Combine $4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $20$ e $4$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $4$ de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $5 x^{3}$ por $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{20}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{20 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Etapa 2.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 3$ por $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Etapa 2.3.6

Combine $\frac{- 60}{3}$ e $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Etapa 2.3.7

Cancele o fator comum de $- 60$ e $3$ .

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Etapa 2.3.7.1

Fatore $3$ de $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Etapa 2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Etapa 2.3.7.2.4

Divida $- 20 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$