Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.4.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.4

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 2.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Divida $1 + \ln (1)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \ln (1))$

Etapa 4.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Etapa 4.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$