Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$ como ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - 9 x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 9 x^{2} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 4.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 4.10

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Etapa 4.11

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \cdot 1)$

Etapa 4.13

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$

Etapa 4.14

Simplifique.

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Etapa 4.14.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$ .

$(- 18 x - 4) \frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $- 18 x - 4$ por $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 18 x - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.3

Fatore $2$ de $- 18 x - 4$ .

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Etapa 4.14.3.1

Fatore $2$ de $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x) - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 9 x) + 2 (- 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 9 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- 9 x - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.4

Fatore $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 1 (2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.6

Fatore $- 1$ de $- (9 x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.7

Reescreva $- (9 x + 2)$ como $- 1 (9 x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$