Cálculo Exemplos

$e^{- 2 x} + 2 x$

Etapa 1

Escreva $e^{- 2 x} + 2 x$ como uma função.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Etapa 5

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Etapa 10

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Etapa 12.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$