Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{27} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Avalie $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ em $27$ e em $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Etapa 7.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $27$ e em $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3

Simplifique.

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Etapa 7.1.3.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $3$ por $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.10

Subtraia $3$ de $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.11

Cancele o fator comum de $240$ e $4$ .

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Etapa 7.1.3.11.1

Fatore $4$ de $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.3.11.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.1.3.11.2.4

Divida $60$ por $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $27$ é $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Etapa 7.3.3

Divida $27$ por $1$ .

$60 - \ln (27)$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1

Reescreva $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Etapa 8.2

Expanda $\ln (3^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$60 - (3 \ln (3))$

Etapa 8.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$60 - 3 \ln (3)$

Forma decimal:

$56.70416313 \dots$

Etapa 10