Cálculo Exemplos

$\log (x^{2} + y^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + 0)$

Etapa 2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Etapa 2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} x$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$

Etapa 2.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + y^{2} \ln (10)}$