Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 3.4

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + y' + 0$

Etapa 3.5

Some $2 + y'$ e $0$ .

$2 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $2 y y' - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ por $2 y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ por $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $2$ de $2 - 2 x$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $- 3$ e $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

Etapa 8.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{1}$

Etapa 8.3.2

Divida $8$ por $1$ .

$8$