Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \cos (2 x) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 \cos (2 x)$ e $0$ .

$4 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 \cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $4 \cos (2 x) = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $4 \cos (2 x) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 9.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10

A solução para a equação $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum.

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 12.1.3

Reescreva a expressão.

$- 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 8 \cdot 1$

Etapa 12.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Etapa 13

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{4})) - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 1 - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 - \frac{π}{2}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $2 - \frac{π}{2}$ .

$y = 2 - \frac{π}{2}$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Etapa 16.1.2

Cancele o fator comum.

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 16.1.3

Reescreva a expressão.

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 16.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.4

Multiplique $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 8 \cdot - 1$

Etapa 16.4.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$8$

Etapa 17

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4})) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 18.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot - 1 - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 - \frac{π}{2}$

Etapa 18.2.2

A resposta final é $- 2 - \frac{π}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{π}{2}$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ .

$(\frac{π}{4}, 2 - \frac{π}{2})$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{4}, - 2 - \frac{π}{2})$ é um mínimo local

Etapa 20