Cálculo Exemplos

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova $u^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 5}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ como $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Etapa 7.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Etapa 9.2

Separe as frações.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Etapa 9.3

Converta de $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ em $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Etapa 9.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Etapa 9.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Etapa 9.6

Reordene os termos.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$