Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2}{x^{2}}$ .

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 5.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Etapa 7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Etapa 7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Etapa 7.3

Some $- 3$ e $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Etapa 8

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$