Cálculo Exemplos

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Etapa 3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Etapa 4

Multiplique $3$ por $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Etapa 5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Etapa 6

Subtraia $8$ de $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Etapa 7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique $12$ por $1$ .

$y' (2) = 12$