Cálculo Exemplos

$x + \frac{27}{2 x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{27}{2 x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2 x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{27}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27}{2 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$1 + \frac{27}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$1 + \frac{27}{2} (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.10

Combine $- 2$ e $\frac{27}{2}$ .

$1 + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x^{- 3}$

Etapa 2.11

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$1 + \frac{- 54}{2} x^{- 3}$

Etapa 2.12

Combine $\frac{- 54}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$1 + \frac{- 54 x^{- 3}}{2}$

Etapa 2.13

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 54}{2 x^{3}}$

Etapa 2.14

Cancele o fator comum de $- 54$ e $2$ .

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Etapa 2.14.1

Fatore $2$ de $- 54$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Etapa 2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.14.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (x^{3})}$

Etapa 2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{2 \cdot - 27}{2 x^{3}}$

Etapa 2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 27}{x^{3}}$

Etapa 2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{27}{x^{3}}$

Etapa 3

Reordene os termos.

$- \frac{27}{x^{3}} + 1$