Cálculo Exemplos

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{5}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $a$ .

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.3.4

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2} x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.4.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

Etapa 2.4.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

Etapa 3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $5 x^{4} a$ dos dois lados da equação.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

Etapa 5.1.3

Subtraia $3 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Etapa 5.2

Fatore $x y'$ de $x^{3} y' - 2 x y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x y'$ de $x^{3} y'$ .

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $- 2 x y y'$ .

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ .

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ por $x (x^{2} - 2 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ por $x (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} - 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 5 x^{4} a$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x^{2} - 2 y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.5.3

Some $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.3.6

Para escrever $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x^{2} - 2 y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.7.1

Multiplique $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

Etapa 5.3.3.7.2

Reordene os fatores de $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.9.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$