Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 5 x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 10 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2} + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $6 x^{2} + 10 x - 10$ e $2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 10 x - 10}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) - 10}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) - 10}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.4

Fatore $2$ de $- 10$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 \cdot - 5}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} + 5 x) + 2 (- 5)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 x + 2}$

Etapa 1.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2}$

Etapa 1.4.6.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x) + 2 (1)}$

Etapa 1.4.6.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Etapa 1.4.6.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x^{2} + 5 x - 5)}{2 (x + 1)}$

Etapa 1.4.6.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 5}{x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 5 x - 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 5}{0 + 1}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0 + 0 - 5}{0 + 1}$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 5}{0 + 1}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $5$ de $0$ .

$\frac{- 5}{0 + 1}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{- 5}{1}$

Etapa 4.3

Divida $- 5$ por $1$ .

$- 5$