Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + x + 2$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

Etapa 3.2.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

Etapa 3.2.3.3

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.2.3.5

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

Etapa 3.2.5.3

Some $- 1$ e $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Etapa 5