Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Etapa 1

Reescreva $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 3.3

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Etapa 8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$