Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{15} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 6$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Combine $\frac{- 6}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{5}}{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.6

Combine $\frac{- 10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 10$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.1

Fatore $5$ de $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{4}$ por $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2} + 72 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 72 u = 0$

Etapa 2.2.2.3.2

Fatore $2 u$ de $72 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

Etapa 2.2.2.3.3

Fatore $2 u$ de $2 u (- u) + 2 u (36)$ .

$2 u (- u + 36) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.5

Defina $- x^{2} + 36$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $- x^{2} + 36$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 36 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva $- x^{2} + 36 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 36$

Etapa 2.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 36$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 36$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.3.1

Divida $- 36$ por $- 1$ .

$x^{2} = 36$

Etapa 2.2.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{36}$

Etapa 2.2.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.4.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Etapa 2.2.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 6$

Etapa 2.2.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6$

Etapa 2.2.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6$

Etapa 2.2.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6, - 6$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6, - 6$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $4096$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $72$ por $64$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

Etapa 5.2.2

Some $- 8192$ e $4608$ .

$f'' (- 8) = - 3584$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3584$ .

$- 3584$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 6)$ porque $f'' (- 8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 6, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $72$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

Etapa 6.2.2

Some $- 162$ e $648$ .

$f'' (- 3) = 486$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $486$ .

$486$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 6, 0)$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $72$ por $9$ .

$f'' (3) = - 162 + 648$

Etapa 7.2.2

Some $- 162$ e $648$ .

$f'' (3) = 486$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $486$ .

$486$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, 6)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $4096$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $72$ por $64$ .

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

Etapa 8.2.2

Some $- 8192$ e $4608$ .

$f'' (8) = - 3584$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 3584$ .

$- 3584$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(0, 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 10