Cálculo Exemplos

$- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{3}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.6

Combine $\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{4}$ por $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{4}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 7 (4 x^{3})$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{4} + 28 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{3}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $28$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} x + 84 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $- 12 x^{2}$ de $84 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $- 12 x^{2}$ de $- 12 x^{2} (x) - 12 x^{2} (- 7)$ .

$- 12 x^{2} (x - 7) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 12 x^{2} (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{3} + 84 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = - 12 \cdot - 8 + 84 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 96 + 84 {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 96 + 84 \cdot 4$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $84$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 96 + 336$

Etapa 5.2.2

Some $96$ e $336$ .

$f'' (- 2) = 432$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $432$ .

$432$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 7)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{3} + 84 {(4)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = - 12 \cdot 64 + 84 {(4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $64$ .

$f'' (4) = - 768 + 84 {(4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = - 768 + 84 \cdot 16$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $84$ por $16$ .

$f'' (4) = - 768 + 1344$

Etapa 6.2.2

Some $- 768$ e $1344$ .

$f'' (4) = 576$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $576$ .

$576$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, 7)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, 7)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(7, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f'' (10) = - 12 {(10)}^{3} + 84 {(10)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f'' (10) = - 12 \cdot 1000 + 84 {(10)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1000$ .

$f'' (10) = - 12000 + 84 {(10)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f'' (10) = - 12000 + 84 \cdot 100$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $84$ por $100$ .

$f'' (10) = - 12000 + 8400$

Etapa 7.2.2

Some $- 12000$ e $8400$ .

$f'' (10) = - 3600$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3600$ .

$- 3600$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(7, \infty)$ porque $f'' (10)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(7, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(0, 7)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(7, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9