Cálculo Exemplos

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 4 x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.2

Combine $4$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.3

Combine $x$ e $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $2$ de $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 2.4.2.4

Divida $x (2 e^{2 x})$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot 4$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 4$ para fora da integral.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Etapa 10

Reescreva $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ como $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$