Cálculo Exemplos

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} + 4 x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $y'$ de $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Etapa 5.4

Fatore $2 y'$ de $2 x y y' - 2 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2 y'$ de $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Etapa 5.4.2

Fatore $2 y'$ de $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Etapa 5.4.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ por $2 (x y - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ por $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $x y - 1$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Para escrever $- \frac{2}{x y - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (x y - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.5.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{x y - 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Etapa 5.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.7

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.3.9.1

Reescreva $- (y^{2} + 4)$ como $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Etapa 5.5.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$