Cálculo Exemplos

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{4 π}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $\frac{4 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 π x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Combine $\frac{4 π}{3}$ e $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.3

Combine $\frac{16 π}{3}$ e $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ por $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{16 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $\frac{16 π}{3}$ e $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{4 π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 π x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $16$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ por $16 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ por $16 π$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $\cos (\frac{4 π x}{3})$ por $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $16$ de $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

Etapa 5.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.2.1

Fatore $16$ de $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

Etapa 5.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

Etapa 5.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

Etapa 5.1.3.2

Divida $0$ por $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.1.1.2

Cancele o fator comum de $4 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1.2.1

Fatore $4 π$ de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1.1

Fatore $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.1.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.5.2.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

Etapa 5.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.2.1

Fatore $4 π$ de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 5.7.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.4.1.1

Fatore $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.1.2

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.4.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.7.2.2.1.4.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

Etapa 5.8

A solução para a equação $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $\frac{3}{8}$ e $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Etapa 7.1.2

Combine $\frac{3 \cdot 4}{8}$ e $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

Etapa 7.2.2

Reduza a expressão $\frac{12 π}{8}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $4$ de $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

Etapa 7.2.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Etapa 7.2.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Etapa 7.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Etapa 7.3.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $64$ por $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

Etapa 8

$x = \frac{3}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3}{8}$ é um máximo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = \frac{3}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{8}$ na expressão.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

Etapa 9.2.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

Etapa 9.2.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Etapa 9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 9.2.3

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 9.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

Etapa 9.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

Etapa 9.2.6

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{9}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Combine $\frac{9}{8}$ e $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{9 \cdot 4}{8}$ e $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Etapa 11.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

Etapa 11.2.2

Reduza a expressão $\frac{36 π}{8}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $4$ de $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

Etapa 11.2.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Etapa 11.2.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Etapa 11.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Etapa 11.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Etapa 11.3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Etapa 11.3.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

Etapa 11.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

Etapa 11.5

Multiplique $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

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Etapa 11.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

Etapa 11.5.2

Multiplique $\frac{64 π^{2}}{9}$ por $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

Etapa 12

$x = \frac{9}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{9}{8}$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{9}{8}$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9}{8}$ na expressão.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Fatore $4$ de $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

Etapa 13.2.1.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

Etapa 13.2.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

Etapa 13.2.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

Etapa 13.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

Etapa 13.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

Etapa 13.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

Etapa 13.2.3

Combine $π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Etapa 13.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Etapa 13.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 13.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.2.7

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 13.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

Etapa 13.2.7.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

Etapa 13.2.8

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ é um máximo local

$(\frac{9}{8}, - 4)$ é um mínimo local

Etapa 15