Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} - 1$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Etapa 1.11

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ e $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} - x$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Etapa 5.2.2.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.2.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Etapa 5.2.2.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2.2.15

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.16

Some $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Etapa 7