Cálculo Exemplos

$\sin (4 x + 5 y^{2}) = 5 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 x + 5 y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x + 5 y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x + 5 y^{2}$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 5 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Etapa 2.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ por $\cos (4 x + 5 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ por $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $4 + 10 y y'$ por $1$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Separe as frações.

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Etapa 5.1.3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$ em $\sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \sec (4 x + 5 y^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Divida $5$ por $1$ .

$4 + 10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2})$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ por $10 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $5$ de $5 \sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $5$ de $10 y$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $10$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{10 y}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{2 (5 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (5 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 2}{5 y}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$